Sharhlar

Hisoblashdagi muammolar va echimlar

Hisoblashdagi muammolar va echimlar

Hisoblashni amalga oshirish oson ishdek tuyulishi mumkin. Kombinatorika deb nomlanuvchi matematika sohasiga chuqurroq kirib borar ekanmiz, biz juda ko'p sonlarni uchratayotganimizni anglaymiz. Faktorial tez-tez ko'rinib turadi va 10 kabi raqamlar! uch milliondan kattaroqdir, agar biz barcha imkoniyatlarni sanab o'tishga harakat qilsak, muammolarni hisoblash juda qiyin kechishi mumkin.

Ba'zida hisoblash muammolarimiz yuzaga kelishi mumkin bo'lgan barcha imkoniyatlarni ko'rib chiqsak, muammoning asosiy tamoyillari orqali fikr yuritish osonroq bo'ladi. Ushbu strategiya bir qator kombinatsiyalar yoki almashinuvlarni ro'yxatlash uchun shafqatsiz kuchni sinashga qaraganda ancha kam vaqt talab qilishi mumkin.

"Biror narsani necha usul bilan qilish mumkin?" Degan savol. butunlay boshqa narsa: "Qanday qilib biron bir narsani amalga oshirish mumkin?" Biz ushbu g'oyani ish paytida quyidagi sanoqli muammolar sonida ko'ramiz.

Quyidagi savollar to'plami TRIANGLE so'zini o'z ichiga oladi. E'tibor bering, jami sakkizta harf mavjud. Shuni tushunish kerakki, TRIANGLE so'zining tovushlari AEI, va TRIANGLE so'zining undoshlari LGNRT. Haqiqiy qiyinchilik uchun, o'qishdan oldin ushbu muammolarning versiyasini echimisiz ko'rib chiqing.

Muammolar

  1. TRIANGLE so'zining harflarini necha xil tartibga solish mumkin?
    Qaror: Bu erda birinchi harf uchun jami sakkizta tanlov mavjud, ikkinchisi uchun ettita, uchinchi uchun oltita va boshqalar. Ko'paytirish printsipi bo'yicha biz 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8 ga ko'paytiramiz! = 40,320 xil yo'llar.
  2. Agar birinchi uchta harf RAN (aniq tartibda) bo'lishi kerak bo'lsa, TRIANGLE so'zining harflarini necha xil tartibga solish mumkin?
    Qaror: Dastlabki uchta harf biz uchun beshta harf qoldirib tanlandi. RANdan keyin keyingi harf uchun beshta variant bor, undan keyin to'rtta, keyin uchta, keyin ikkita va keyin bitta. Ko'paytirish printsipi bo'yicha 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 mavjud! Harflarni belgilangan tartibda tartibga solishning 120 usuli.
  3. Agar birinchi uchta harf RAN (har qanday tartibda) bo'lishi kerak bo'lsa, TRIANGLE so'zining harflarini necha xil tartibga solish mumkin?
    Qaror: Bunga ikkita mustaqil vazifa sifatida qarang: birinchisi RAN harflarini tartibga solish, ikkinchisi qolgan beshta harflarni tartibga solish. 3tasi bor! = RAN va 5ni tashkil qilishning 6 usuli! Qolgan besh harfni tartibga solish usullari. Shunday qilib, jami 3 ta! x 5! = TRIANGLE harflarini belgilangan tartibda tartibga solish uchun 720 usul.
  4. Agar birinchi uchta harf RAN (har qanday tartibda) va oxirgi harf unli bo'lsa, TRIANGLE so'zining harflarini necha xil tartibga solish mumkin?
    Qaror: Bunga uchta vazifa sifatida qarang: birinchisi RAN harflarini tartibga solish, ikkinchisi I va E harflaridan birini tanlash, uchinchisi esa qolgan to'rtta harfni tartibga solish. 3tasi bor! = RANni tuzishning 6 usuli, qolgan harflardan unli ovozni tanlashning 2 usuli va 4! Qolgan to'rtta harfni tartibga solish usullari. Shunday qilib, jami 3 ta! X 2 x 4! = TRIANGLE harflarini belgilangan tartibda tartibga solishning 288 usuli.
  5. Agar birinchi uchta harf RAN (har qanday tartibda) va keyingi uchta harf TRI (har qanday tartibda) bo'lishi kerak bo'lsa, TRIANGLE so'zining harflarini necha xil tartibga solish mumkin?
    Qaror: Yana uchta vazifamiz bor: birinchisi RAN harflarini tartibga solish, ikkinchisi TRI harflarini tartibga solish va uchinchisi qolgan ikkita harflarni tartibga solish. 3tasi bor! = RANni tashkil qilishning 6 usuli, 3! TRIni tashkil etish usullari va boshqa harflarni tartibga solishning ikkita usuli. Shunday qilib, jami 3 ta! x 3! X 2 = ko'rsatilgandek TRIANGLE harflarini tartibga keltirishning 72 usuli.
  6. IAE unli tovushlarining tartibini va joylashishini o'zgartirish mumkin bo'lmasa, TRIANGLE so'zining harflarini necha xil usulda ajratish mumkin?
    Qaror: Uchta unlilar bir xil tartibda saqlanishi kerak. Xozirda jami besh undosh tovush bor. Buni 5da bajarish mumkin! = 120 yo'l.
  7. Agar IAE unli tovushlarning tartibini o'zgartirish imkoni bo'lmasa, ularni joylashtirish mumkin (IAETRNGL va TRIANGEL qabul qilinishi mumkin, ammo EIATRNGL va TRIENGLA emas) TRIANGLE so'zining harflarini necha xil tartibga solish mumkin?
    Qaror: Bu ikki bosqichda eng yaxshi o'ylangan. Birinchi qadam - unlilar ketadigan joylarni tanlash. Bu erda biz sakkiztadan uchta joyni tanlaymiz va buni bajarish tartibi muhim emas. Bu kombinatsiya va jami bor C(8,3) = 56 qadam. Qolgan beshta harf 5 ga joylashtirilishi mumkin! = 120 yo'l. Bu jami 56 x 120 = 6720 tartibga ega.
  8. IAE unli tovushlarining tartibini o'zgartirish mumkin bo'lsa, ularni joylashtirmasa ham, TRIANGLE so'zining harflarini necha xil yo'l bilan ajratish mumkin?
    Qaror: Bu, albatta, yuqorida № 4 bilan bir xil, ammo harflar bilan. Biz uchta harfni 3 ga ajratamiz! = 6 ta usul va 5 ta boshqa beshta harf! = 120 yo'l. Ushbu tartibga solish usullarining umumiy soni 6 x 120 = 720.
  9. TRIANGLE so'zining oltita harfini nechta xil usulda ajratish mumkin?
    Qaror: Biz kelishuv haqida gaplashayotganimiz sababli, bu o'zgartirish va jami bor P(8, 6) = 8! / 2! = 20.160 usul.
  10. Agar unli va unli undoshlar teng bo'lsa, TRIANGLE so'zining oltita harfini necha xil usulda ajratish mumkin?
    Qaror: Biz qo'yadigan ovozlarni tanlashning faqat bitta usuli bor. Undosh tovushlarni tanlash mumkin C(5, 3) = 10 usul. U erda 6 ta! oltita harfni tartibga solish usullari. 7200 natijasi uchun ushbu raqamlarni birga ko'paytiring.
  11. Agar kamida bitta undosh undosh bo'lsa, TRIANGLE so'zining oltita harfini nechta xil usulda ajratish mumkin?
    Qaror: Oltita harfning har bir tartibi shartlarni qondiradi, shuning uchun ham mavjud P(8, 6) = 20,160 yo'l.
  12. Agar unli tovushlar undosh harflar bilan almashtirilsa, TRIANGLE so'zining oltita harfini necha xil usulda ajratish mumkin?
    Qaror: Ikkita imkoniyat mavjud, birinchi harf unli yoki birinchi harf undoshdir. Agar birinchi harf unli bo'lsa, unda biz uchta tanlov qilamiz, undan keyin undosh tovush uchun beshta, ikkinchi tovushli tovush uchun ikkita, ikkinchi ikkinchi undosh uchun to'rtta, oxirgi unli tovush uchun bitta va oxirgi undosh uchun uchtadan. Buni 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360 olish uchun ko'paytiramiz. Simmetriya argumentlari bo'yicha undoshdan boshlanadigan bir xil tartib mavjud. Bu jami 720 tartibni beradi.
  13. TRIANGLE so'zidan nechta harflarning nechta to'plami hosil bo'lishi mumkin?
    Qaror: Jami sakkiztadan to'rtta harflar to'plami haqida gap ketayotganligi sababli, buyurtma muhim emas. Kombinatsiyani hisoblashimiz kerak C(8, 4) = 70.
  14. Ikkita unli va ikkita undosh tovushga ega bo'lgan TRIANGLE so'zidan nechta harflarning nechta to'plamini hosil qilish mumkin?
    Qaror: Bu erda biz ikki bosqichda o'z to'plamimizni shakllantirmoqdamiz. Bu yerda C(3, 2) = Jami 3 dan ikkitasini tanlashning 3 usuli mavjud C(5, 2) = mavjud beshlikdan undosh tovushlarni tanlashning 10 usuli. Bunda jami 3x10 = 30 to'plamni olish mumkin.
  15. Agar biz kamida bitta unlini istasak, TRIANGLE so'zidan nechta harflarning nechta to'plamini hosil qilishimiz mumkin?
    Qaror: Buni quyidagicha hisoblash mumkin:
  • Bitta unlili to'rtlik to'plam soni C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
  • Ikkala tovushli to'rtta to'plam soni C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
  • Uchta unli tovushli to'rtta to'plam soni C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Bu jami 65 xil to'plamlarni taqdim etadi. Shu bilan bir qatorda har to'rtta harfdan iborat to'plamni hosil qilish va ajratish uchun 70 usul mavjudligini hisoblashimiz mumkin C(5, 4) = unli tovushlarsiz to'plamni olishning 5 usuli.